Сегодня мы предлагаем вам вспомнить математику и поупражняться в решнии задач с числом "13". Вот некоторые:

  1. Докажите, что сумма всех целых чисел от 1 до миллиарда делится на 13.
  2. Разложите 13 на сумму целых степеней различных простых чисел.
  3. Какое максимальное одинаковых шаров можно расположить так, чтобы один из них касался всех остальных?
  4. Вместо какого целого числа часов при указании времени используется одна из цифр этого числа?
  5. Докажите, что шестизначное число, в записи которого повторяются два трехзначных числа (то есть вида ABCABC), делится на 13
  6. Докажите, что шестизначное число, в записи которого повторяются три двузначных числа (то есть вида ABABAB), делится на 13
  7. Докажите, что ни при каком N выражение N^3+1 не делится на 13 (здесь и далее выражение x^y означает "х в степени y")
  8. При каком наименьшем целом N выражение N^2+1 делится на 13?
  9. При каком наименьшем целом N>1 число вида 10^N+3 делится на 13
  10. В треугольнике ABC угол C — прямой. В треугольнике ABD угол B  — прямой. Длины сторон обоих этих треугольников выражены целыми числами, причем AB=13. Найдите AD
  11. Можно ли 13 представить в виде суммы трех натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию?
  12. Можно ли 13 представить в виде суммы трех натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию?
  13. Правило "тринадцатого удара". Одна из предыдущих задач сформулирована некорректно, так что не может быть решена. Какая?

Внимание, конкурс! Присылайте свои ответы в сообщениях на нашу страничку в Facebook — тринадцатый правильно ответивший участник получит бесценный приз!

Правильные ответы и награждение победителя — в следующем выпуске!

Кошки сглаза не боятся!